根式函数√(x+1)

△.主要内容：

本文介绍隐函数√(x+1)-√(7y+15)=11的定义域、值域、单调性、凸凹性等主要性质，并举例用导数知识求解该函数的单调区间和凸凹区间。

△.函数的定义域

对隐函数√(x+1)-√(7y+15)=11有：

√(x+1)=11+√(7y+15)≥11，

不等式两边同时平方为：

x+1≥121，即：

x≥120，则x≥120,

同时有x+1≥0，即x≥-1,

即可得到该函数的定义域为：

[120,+∞)。

△.函数的单调性

对函数√(x+1)-√(7y+15)=11两边同时求导有：

1/2√(x+1)-7y'/2√(7y+15)=0,

7y'/√(7y+15)=1/√(x+1),

y'=1/7*√(7y+15)/√(x+1)≥0,

即函数在定义域上为增函数。

故函数的单调增区间为[120,+∞)。

△.函数的值域

根据函数单调性，则当x0=120时，

该函数有最小值，将x0代入隐函数有：

√(120+1)-√(7y+15)=11，

11-√(7y+15)=11，即7y+15=0,

则y=-15/7为所求隐函数的最小值。

或者:

对函数√(x+1)-√(7y+15)=11有：

√(7y+15)=√(x+1) -11≥0，

不等式两边同时平方为：

7y+15≥121，即：

7y≥-15/7，则y≥-15/7,

综合求出该隐函数的值域为：

[-15/7, +∞)。

△.函数的凸凹性

y'=1/7*√(7y+15)/√(x+1)，

对函数再次求导，有：

y''=1/7*[7y'√(x+1)/2√(7y+15)-√(7y+15)/2√(x+1)]/(x+1),

y''=1/7*[7y'(x+1)- (7y+15)]/[2√(x+1)^3*√(7y+15)],

y''=1/14*[√(7y+15) (x+1) -(7y+15)]/[√(x+1)^3*√(7y+15)],

对二次导数进行等式变形化简得：

y''=1/14*[√(x+1) -√(7y+15)]/√(x+1)^3

=11/[14√(x+1)^3]>0,

即函数在[120/1,+∞)为凹函数。

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