河图数字的象意理解（数学浮沉录6）

上一期我们讲了《河图来到了人间》，欣赏了与之来源有关的神话传说，然后以球体为视角推演了其绘制过程，揭开了其来源的神秘面纱。其图像如下：

河图中出现了一、二、三、四、五、六、七、八、九共9个数。上期我们讲到其中的一、三、五、七称为天数，偶数二四六八被称为地数。

用"天"、“地”来给这九个数命名，与天并论，与地同提，足以看出"数"在远古时代的待遇是多么的高！也可以感到到古代先民对数学的重视程度是多么的高，足以令那些“学数学无用论”者汗颜！

为此，我们要弄清河图里面的数字奥秘，还必需分析清那个时代的数学文化氛围，这对我们理解河图是必需的。

上一期，我们也简单提到中国古代先民的数字崇拜。那是一个对“数”崇拜的五体投地的时代，全民都是“数”的铁粉。经过长期的对时空的观察，经历漫长的历法研究后，古人的思维逐渐形成了一个思维定势：观察实物(具象)→抽象人工模拟物(抽象)→赋予数字之魂(数象)。比如，办事顺溜、挣钱顺溜、吃饭顺溜等等，可以从这些现象中抽象出“顺利”，然后再把“顺利”与数字“六”联系起来。那么数字“六”就变成了做事顺利的代名词,民间俗语说“三六九，朝外走"就是这个意思。在那个时代，凡事都要把“数”与 “象”(自然的实象转化为人类拟象)结合起来。“历法”就是对天象变化用数字摹写的成功范例。

远古先人对数字崇拜也是有轻重的，有选择的，也不是盲目崇拜。数字明星中也有重量级的大咖，也有打酱油的跟班。对数字的崇拜。有两类，一类是对一至十这十个基本数字的崇拜，这十个数是十大明星，不妨称之为国宝级。在中国人心目中，这些国宝级数字除了具有数学意义外, 还具有美学意义、祥瑞意义、世界观及宇宙观意义等, 每个基本数字都是完美数、吉利数、理想数、大智慧数, 细说起来都含义无穷！第二类是由国宝级的数字经过经过某种特殊组合后，再经某种运算所得到的新数，如二、二、三相乘产生的十二, 由二、三、四相乘产生的二十四, 四七产生的二十八, 六六产生的三十六, 七七产生的四十九,八八产生的六十四, 九九产生的八十一, 由十产生的百、千、万等。

有了以上历史背景的分析。我们再来看河图上的九个数，就容易理解它们在远古先人心目中到底处于什么位置了。这九个数，除了可以从天地数的角度来表达外，还可分为以下三类。

圆数: 圆数象征天, 为 3 个 “五”, 数值和为十五。

方数: 方数象征地, 为六、七、八、九, 数值和为三十。(6+7+8+9=30)

柱数: 象征四根柱子, 为一、二、三、四，数值和为十。（1+2+3+4=10）

河图中总的数值之和为五十五(15+30+10=55), 它被称为 “天地之数”(注：上期讲过，中间的天五我认为应该是两个五，这样就是两个天五，两个地五，这样来认识的话，所有数字的和应该是周数60，而不是55，那么天地之数就应该是60。当然这只是我个人理解，历史上没有这个说法，我目前也没有足够的证据，所以我保留个人意见，后面论述仍然以历史上大多数人的理解为准，即仍然认为天地之数为55)。

这里问题来了，“圆数”、“方数”、“柱数”这样的称谓，远古先人是出于什么考量呢？它们又被赋予什么“象”的意义了？

这要从远古先人对圆与方的理解入手分析。还得要问古代数学家！

一、对“圆数”与“方数”的理解

《周髀算经》记载了周公和商高的一段精妙对话，周公问商高的话，这里就不细说，大意请商高给他普及一下怎么测量高山之类的话，有点像国务院总理咨询院士的场面，这段故事后面我们再专门讲。

商高回答说：“数之法, 出于圆方。圆出于方, 方出于矩, 矩出于九九八十一。故折矩以为勾广三, 股修四, 径隅五。既方其外, 半之一矩。环而共盘, 得成三、四、五。两矩共长二十有五, 是谓积矩。环矩以为圆, 合矩以为方。方属地, 圆属天, 天圆地方”。

我们今日来理解这段话。就是准备一个长分别为3、4、5的直角三角形(在古代，边长为5的那边实际不存在，仅有两直角边，称为矩)。把边长为3的边放在地面上，以另一直角边为旋转轴转一圈可以得到一个圆。把"二"个直角三角形合起来可以得到“一”个长方形。这样算上直角三角形的三边长的数“三”、“四”、“五”。伸出五个手指头都能数出的五个数字就全活了。所以说“数之法出于圆方”。

“数之法出于圆方”的认识在历法测量中有广泛的应用。数学是其他学科的基础，从古代就是这样，古代天文学测量也是建立在数学基本原理之上的。现在想知道几点，此时只要打开手机确认或看下手表就能知道，甚至可以精确到秒。而机械表直到1867年才传入中国。在中国古代，时间测量主要采用的圭竿测影法。就是在地上竖直立一根杆子， 每天竿的影不仅有长度的变化, 方位也有西东的变化。其结果竿影在地上划出了一个近似的半圆形 (另一半被黑夜所 “吞没”)。因此古人以为这圭竿就可演示天圆地方之象。

平地上立一竿, 在阳光下就如一“矩”(竿与它的影子构成直角三角形,就是“矩”的形状), 这样“数之法出于圆方”自然就成为了模拟天圆地方的理论工具。天地之形象是圆方, 数之法出于圆方, 因此可用数字表示天圆地方。

平地立一根长为四尺的竿子, 竿的影在地上移动，划出一个圆影, 可设想为是以四尺的竿子为轴进行旋转。在转动过程中，旋转轴直立的四尺竿子没有动，动的只是直角边三尺和斜边。也就是说“竿四末动, 而“勾三”、“弦五”的方位在变化“。于是环矩所成之圆,用“叁伍以变”之数来模拟。

这里为何用"叁"这个字呢？这个从"叁"的本身数量含义是非常难理解的。即使是理学大家朱熹，在《周易本义》中对 《系辞》传中 的 “叄伍以变, 错综其数”。也是参不透是何深意，于是朱熹发感慨说: “叁伍”、“错综”皆古语, 而 “叁伍”犹难晓。“参伍”、“错综”都是古代的用语，尤其是“叁伍”这个词更是难以理解呀！这里我个人认为，“叁”不能理解为数字的3.因为如果理解成3，那么3个五,即勾三股四的直角三角斜边有3个位置，只能得到圆上的3个点，仅有3个位置怎么会变化出圆呢？我认为“叁”应该理解成多的意思，古人常说，“三人为众”，往往用“叁”这个字来表述多，这样理解的话，多个五就可以变化出圆了。这里的“叁”也是一种意象，而不能从字面理解成数量。

因为“合矩以为方”，即用两个“矩”（就是两个边长分别为3、4、5的直角三角形），尝试把两个边拼直拼接在一起，就像小朋友玩拼图那样。那么可以得到以下关系：3+3=6,3+4=7,3+5=8,4+4=8,4+5=9.由此得到六、七、八、九。用这四个数就可以去表示四个方位。《墨子迎敌》中说: “其方数, 东方八, 南方七, 西方九, 北方六。”表明的也是用数字来表示方位的意思。

二、“圆数”与“方数”、“柱数”的关联

“圆数”为5， “方数”为6、7、8、9，那么“圆数”与“方数”什么关系？如何由 “圆天” 知“方地”呢？。

要弄清“圆数”与“方数” 的关系，根据古人“近取诸身，远取诸物”的思维习惯， 请看我们的双手。十根手指，数后是一、二、三、四、五、六、七、八、九、十。其中十是两个五，与五合起来，恰好是三个五，于是就认为“这就是叄五以变”的“圆数”。六、七、 八、九正好是 “方数”。还剩下四个：一、二、三、四，这四位仁兄，有什么含义吗？

上一期，我们也讲过浑天说和盖天说，古人认为我们生活在有球状穹顶的球体中。被天所包围，但是天却不塌下来，为何不塌下来呢？从房子的建造中受到启发，房子都是有柱子支撑着屋顶, 由此观物取象。天之所以不塌下来, 一定也是有柱子支撑着。有东南西北四个方位，于是，也认为应该有四个柱子撑着，以为一、二、三、四就是立于地, 支着天的 4 根擎天之柱, 称为 “四柱”，因此这四个数又称为柱数。

另外，古人也发现四个柱数，与四个方数借助圆数，也有下面的关系：

1(柱数)+5(圆数)=6(方数)；2(柱数)+5(圆数)=7(方数)；

3(柱数)+5(圆数)=8(方数)；4(柱数)+5(圆数)=9(方数)；

这里，圆数5犹如一个加工机器，把柱数放入其中，马上就被加工成方数，从这个角度出发。方数是由柱数生成的，于是柱数也被称为生数，方数也被称为成数。

再让我们从古人的角度，从"天"、"地"的角度再去审视“一、二、三、四、五、六、七、八、九”。环矩成一圆, 天为圆, 故 “一”为天数; 合二矩成一方, 地为方, 所以 “二” 为地数; 圆是三、五以变的产物, 故 “三”与 “五”为圆数, 天为圆, 故 “三”、“五” 为天数; “四”为立地之竿当然为地数。一、二、三、四都是看得见的有形之数, 唯有这 “五”, 虽与天、日、地、竿相 关, 但是看不见的数。古人很可能称其为神奇之数。这奇（qí）数, 后来演变为指单一不成双的奇( ) 数。联想到人的头有 “五官”, 身有 “五体”, 手脚有 “五指”, 也是 “三五”, 更增加了“五”的神秘性。这种神秘性在五的甲骨文" "中有所体现，上面一横表示天，下面一横表示地，中间为阴阳交叉。后面我们会讲到五形，也与此有关）。利用这个“叁伍以变“的圆天之数”,通过“四柱”、 错综其数”， 即可求出方地之数六、七、 八、九。所谓 “错综其数”, 其实就是数字的交叉相合的加法。

同样是“一、二、三、四、五、六、七、八、九”这九个数，彼此关系错综复杂，角度不同，关联不同，意象也不同。本期讲到的河图上的这九个数之间的关系，也仅是挂一漏万。请看下期：揭秘河图数字的神秘规律(数学浮沉录7)

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