2025年罗湖区中考备考百师助学课程之第八讲《主从联动—瓜豆圆》自主学习单含答案

发布时间：2025-07-06 17:44

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自主学习单
知识背景:
瓜豆原理是初中数学中用于解决动点轨迹问题的一种形象化方法，其核心思想是：当两
个动点（称为“主动点”和“从动点”）之间存在固定的几何关系（如旋转、平移、缩放等）
时，它们的轨迹形状相同或可通过几何变换相互转化。
瓜豆原理贴合初中数学“几何变换”“轨迹分析”等核心内容，旨在培养几何直观、逻辑推
理和模型思想，是落实课程目标与核心素养的典型工具。
技能梳理:
旨在于找到图形中的定点，主动点，圆心，所形成的三角形①与同一个定点，从动点，
要找的圆心，所形成的三角形②。这两个三角形要么全等，要么相似，结合手拉手构造全等
（或相似）。即可找到心目中的圆心，确定圆的两个要素：圆心与半径。
模块一：等倍圆
1．1．讲解（2022-2023学年·江苏省泰州市兴化市·九年级（下）第三次素养提升数学试
卷（B卷）如图，已知点 A是第一象限内的一个定点，点 P是以 O为圆心、1个单位长
为半径的圆上的一个动点，连接 AP，以 AP为边在 AP右侧作等边三角形 APB．当点 P
在⊙O上运动一周时，点 B运动的路径长是．
1．2．练习（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形 ABCD为正方形，P
是以边 AD为直径的 O上一动点，连接 BP，以 BP为边作等边三角形 BPQ，连接OQ，
若 AB 2，则线段OQ的最大值为．
1．3．练习（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系 xOy中，点 A
3,4
的坐标是，点 B是 A上一点， A的半径为 2，将OB绕 O点顺时针方向旋转90
得OC，连接 AC，则线段 AC的最小值为（）
A．5 2 2 B．3 2 1 C．5 D．6
题 1.1 图题 1.2 图题 1.3 图
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模块二：放缩圆
2．1．讲解（2023-2024学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级（上）期末数学试卷）
如图，在正方形 ABCD中，AB＝4，以 AD的中点 O为圆心，1为半径作半圆交边 AD于
E、F，动点 P在半圆上，若∠BPQ＝90°且 BP＝2PQ，则当 CQ最小时，△BCQ的面积
为．
题 2.1 图
2．2．讲解(2022 年江苏省连云港市灌南县中考数学二模试卷)如图，⊙O半径为 4，在 Rt
3
△ABC中，∠B＝90°，点 A，B在⊙O上，点 C在⊙O内，且 tanA= 4．当点 A在圆上
运动时，则线段 OC的最小值为．
题 2.2 图（方法 1）题 2.2 图（方法 2）
3．2．练习（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形 ABCD的边长为 2，以点
A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段 DE绕点 D顺时针方向旋转
90°并缩短到原来的一半，得到线段 DF，连结 AF，则 AF的最小值是．
题 2.3 图
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模块三：瓜豆圆综合应用
3．1．讲解（2024年广东省广州市越秀区铁一中学中考数学三模试卷）如图，在△ABC中，
∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，AE＝3，连接 BE，以 BE为斜边在 BE的右侧作等腰直
角△BDE，P是 AE边上的一点，连接 PC和 CD，当∠PCD＝45°，则 PE长为．
题3.1图（方法1）题 3.1 图（方法 2）
3．2．练习（2025年广东省珠海市九洲中学中考数学一模试卷）如图 1，在平面直角坐标系
中，直线 y＝﹣5x+5与 x轴，y轴分别交于 A、C两点，抛物线 y＝x2+bx+c经过 A、C两
点，与 x轴的另一交点为 B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点 M为 x轴下方抛物线上一动点，当点 M运动到某一位置时，△ABM的面积等
3
于△ABC面积的，求此时点 M的坐标；
5
（3）如图 2，以 B为圆心，2为半径的⊙B与 x轴交于 E、F两点（F在 E右侧），若 P
点是⊙B上一动点，连接 PA，以 PA为腰作等腰 Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D
三点为逆时针顺序），连接 FD．求 FD长度的取值范围．
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